यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2\sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$ है,तो $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$,$R$ पर परिभाषित एक दो बार अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f(0)=1$,$f^{\prime}(0)=2$ और सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x) \neq 0$ है। यदि सभी $x \in R$ के लिए $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$ है,तो $f(1)$ का मान किस अंतराल में स्थित है?

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ है, तो $f^{\prime}(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $l, m, n \in R$ और $A = \begin{bmatrix} 1 & r & r^2 & l \\ r & r^2 & 1 & m \\ r^2 & 1 & r & n \end{bmatrix}$ है। तब $r$ के उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय जिनके लिए $A$ की कोटि (rank) $3$ है, है

यदि आव्यूहों $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & -8 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) क्रमशः $r_1$ और $r_2$ है,तो $r_1 - r_2 =$

यदि $A(x) = \begin{vmatrix} x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ 2x+1 & 3x+1 & x+1 \\ 3x+1 & x+1 & 2x+1 \end{vmatrix}$ है, तो $\int_0^1 A(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।